§1. Линейные уравнения с двумя переменными

Тема: Линейная функция

Урок: Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Мы познакомились с понятиями координатной оси и координатной плоскости. Мы знаем, что каждая точка плоскости однозначно задает пару чисел (х; у), причем первое число есть абсцисса точки, а второе - ордината.

Мы будем очень часто встречаться с линейным уравнением с двумя переменными, решением которого и есть пара чисел, которую можно представить на координатной плоскости.

Уравнение вида:

Где a, b, с - числа, причем

Называется линейным уравнением с двумя переменными х и у. Решением такого уравнения будет любая такая пара чисел х и у, подставив которую в уравнение мы получим верное числовое равенство.

Пара чисел будет изображаться на координатной плоскости в виде точки.

У таких уравнений мы увидим много решений, то есть много пар чисел, и все соответствующие точки будут лежать на одной прямой.

Рассмотрим пример:

Чтобы найти решения данного уравнения нужно подобрать соответствующие пары чисел х и у:

Пусть , тогда исходное уравнение превращается в уравнение с одной неизвестной:

,

То есть, первая пара чисел, являющаяся решением заданного уравнения (0; 3). Получили точку А(0; 3)

Пусть . Получим исходное уравнение с одной переменной: , отсюда , получили точку В(3; 0)

Занесем пары чисел в таблицу:

Построим на графике точки и проведем прямую:

Отметим, что любая точка на данной прямой будет решением заданного уравнения. Проверим - возьмем точку с координатой и по графику найдем ее вторую координату. Очевидно, что в этой точке . Подставим данную пару чисел в уравнение. Получим 0=0 - верное числовое равенство, значит точка, лежащая на прямой, является решением.

Пока доказать, что любая точка, лежащая на построенной прямой является решением уравнения, мы не можем, поэтому принимаем это за правду и докажем позже.

Пример 2 - построить график уравнения:

Составим таблицу, нам достаточно для построения прямой двух точек, но возьмем третью для контроля:

В первой колонке мы взяли удобный , найдем у:

, ,

Во втором столбике мы взяли удобный , найдем х:

, , ,

Возьмем для проверки и найдем у:

, ,

Построим график:

Умножим заданное уравнение на два:

От такого преобразования множество решений не изменится и график останется таким же самым.

Вывод: мы научились решать уравнения с двумя переменными и строить их графики, узнали, что графиком подобного уравнения есть прямая и что любая точка этой прямой является решением уравнения

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

2. Портал для семейного просмотра ().

Задание 1: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 960, ст.210;

Задание 2: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 961, ст.210;

Задание 3: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 962, ст.210;

Инструкция

Если дана система из двух линейных уравнений, решайте ее следующим образом. Выберите одно из уравнений, в котором коэффициенты перед переменными поменьше и выразите одну из переменных, например, х. Затем подставьте это значение, содержащее у, во второе уравнение. В полученном уравнении будет лишь одна переменная у, перенесите все части с у в левую часть, а свободные – в правую. Найдите у и подставьте в любое из первоначальных уравнений, найдите х.

Решить систему из двух уравнений можно и другим способом. Умножьте одно из уравнений на число, чтобы коэффициент перед одной из переменных, например, перед х, был одинаков в обоих уравнениях. Затем вычтите одно из уравнений из другого (если правая часть не равна 0, не забудьте вычесть аналогично и правые части). Вы увидите, что переменная х исчезла, и осталась только одна переменная у. Решите полученное уравнение, и подставьте найденное значение у в любое из первоначальных равенств. Найдите х.

Третий способ решения системы двух линейных уравнений – графический. Начертите систему координат и изобразите графики двух прямых, уравнения которых указаны в вашей системе. Для этого подставляйте любые два значения х в уравнение и находите соответствующие у – это будут координаты точек, принадлежащих прямой. Удобнее всего находить пересечение с осями координат – достаточно подставить значения х=0 и у=0. Координаты точки пересечения этих двух линий и будут задачи.

Если в условиях задачи лишь одно линейное уравнение, значит, вам даны дополнительные условия, благодаря которым можно найти решение. Внимательно прочитайте задачу, чтобы найти эти условия. Если переменными х и у обозначены расстояние, скорость, вес – смело ставьте ограничение х≥0 и у≥0. Вполне возможно, под х или у скрывается количество , яблок, деревьев и т.д. – тогда значениями могут быть только целые числа. Если х – возраст сына, понятно, что он не может быть старше отца, поэтому укажите это в условиях задачи.

Постройте график прямой, соответствующий линейному уравнению. Посмотрите на график, возможно, на нем будет всего лишь несколько решений, удовлетворяющих всем условиям – например, целых и положительных чисел. Они и будут являться решениями вашего уравнения.

Источники:

• как решить уравнение с одной переменной

Одной из основных задач математики является решение системы уравнений с несколькими неизвестными. Это очень практическая задача: есть несколько неизвестных параметров, на них накладывается несколько условий и требуется найти их наиболее оптимальную совокупность. Такие задачи являются обыденными в экономике, строительстве, проектировании сложных механических систем и вообще везде где требуется оптимизация затрат материальных и человеческих ресурсов. В связи с этим встает вопрос: а как же решать такие системы?

Инструкция

Математика дает нам два способа решения таких систем: графический и аналитический. Эти способы равнозначны, и нельзя сказать, что какой-то из них лучше или хуже. В каждой ситуации нужно в ходе оптимизации решения выбирать какой способ дает более простое решение. Но есть и некоторые типичные ситуации. Так, систему плоских уравнений, т. е. когда два графика имеют вид y=ax+b, проще решать графическим способом. Делается все очень просто: строятся две прямые: графики линейных функций, затем находится их точка пересечения. Координаты этой точки (абсцисса и ордината) и будут решением данного уравнения. Заметим также, что две прямые могут быть и параллельными. Тогда система уравнений не имеет решения, а функции называются линейно зависимыми.

Может случиться и обратная ситуация. Если нам нужно найти третью неизвестную, при двух линейно независимых уравнениях, тогда система будет недоопределена и иметь бесчисленное множество решений. В теории линейной алгебры доказывается, что система имеет единственное решение, тогда и только тогда, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных.

Эту тему любой школьник начинает изучать еще в начальных классах, когда проходит знаки «больше», «меньше» и «равно». Данный вид неравенств и уравнений является одним из самых простых во всей учебной программе за весь период обучения школьника и студента. Решение абсолютно любого уравнения и неравенства сводится к тому, чтобы упростить его до линейного вида. Как же выглядят линейные уравнения и неравенства?

В таком уравнении неизвестное находится в первой степени, что позволяет просто и быстро отделить переменные от постоянных, поместив их по разные стороны разделяющего знака (равенства либо неравенства). Как же выглядит способ, который поможет легко и просто решить любое линейное уравнение?

Допустим, существует уравнение 3х - 89 = (5х - 32)/2. Первое, что стоит сделать - это упростить дробную часть, умножив на 2 все уравнение. Тогда в результате получится, что 6х - 178 = 5х - 32. По сути это - уже линейное уравнение. Теперь необходимо упростить его, переместив все переменные в левую часть, а постоянные - в правую. В результате получится, что х = 146. Если множитель переменной больше единицы, следует разделить на него все линейное уравнение, и в таком случае получится необходимый ответ.

То же самое касается и неравенств. Сначала необходимо упроститьлинейное неравенство, а после - переместить переменные в его левую часть, а постоянные - в правую. После этого линейное неравенство снова упрощается, чтобы коэффициент переменной равнялся единице. Ответ на неравенство получается автоматически, после этого его необходимо лишь записать в нужной форме (в виде неравенства, интервала или промежутка на оси).

Как можно понять из написанного выше, линейные уравнения и неравенства очень просты даже для детей начальной школы. Однако стоит помнить о том, что данный вид уравнений имеет варианты.

Существует такой их вид, как линейные уравнения с двумя переменными. Как их решать? Это достаточно трудоемкий процесс. В школе с подобными случаями начинают сталкиваться в следовательно, линейные уравнения с двумя переменными можно отнести к более сложным темам.

Допустим, существует уравнение 2х + у = 3х + 17. Первое, что необходимо сделать - это выразить одну неизвестную величину через другую. Это делается достаточно просто: одна переменная выносится в левую сторону, все остальные переменные и числа - в правую; таким образом решаются все линейные уравнения с двумя переменными. В итоге Вы получите уравнение вида у = х + 17. Ответ выражается путем построения графика этой функции в системе координат и имеет вид прямой линии. Вот так и решаются линейные уравнения с двумя переменными.

Стоит также заметить, что помимо уравнений с двумя переменными существуют и подобные неравенства. В отличие от уравнений, ответом в которых служит график функции, неравенство заключает свой ответ в плоскости, ограниченной этим графиком. Стоит учесть: если неравенство строгое, то график в ответ не входит!

Итак, теперь Вы представляете себе, как решать линейные уравнения и неравенства. Хоть эта тема и достаточно проста для изучения, ей стоит уделить внимание, так как некоторые тонкости могут оказаться не слишком понятными, что на контрольном тесте может повлечь неприятные ошибки и снижение итоговых баллов. Линейное уравнение - это просто, главное - придерживаться необходимых математических правил, таких, как деление либо умножение всего уравнения на какую-либо величину, перенос элементов функции за знак равенства, правильное построение графиков, грамотная запись ответа.

Зная, как правильно записывать и решать линейные уравнения и неравенства, вы сможете разобраться и в более сложных видах уравнений и неравенств. Именно поэтому эта тема считается настолько важной - чуть ли не краеугольным камнем математики, ведь принципы решения подобных примеров лежат в основе решения львиной доли остальных уравнений, неравенств и задач.

Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение. В этом уравнении полная степень составляющих его многочленов равна единице.

Линейные уравнения представляют в таком виде:

В общей форме: a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b = 0

В канонической форме: a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b.

Линейное уравнение с одной переменной.

Линейное уравнение с 1-ой переменной приводится к виду:

ax + b =0.

Например:

2х + 7 = 0 . Где а=2, b=7;

0,1х - 2,3 = 0. Где а=0,1, b=-2,3;

12х + 1/2 = 0. Где а=12, b=1/2.

Число корней зависимо от a и b :

Когда a = b =0 , значит, у уравнения есть неограниченное число решений, так как .

Когда a =0 , b ≠ 0 , значит, у уравнения нет корней, так как .

Когда a ≠ 0 , значит, у уравнения есть только один корень .

Линейное уравнение с двумя переменными.

Уравнением с переменной x является равенство типа A(x)=B(x) , где A(x) и B(x) — выражения от x . При подстановке множества T значений x в уравнение получаем истинное числовое равенство, которое называется множеством истинности этого уравнения либо решение заданного уравнения , а все такие значения переменной — корни уравнения.

Линейные уравнения 2-х переменных представляют в таком виде:

В общей форме: ax + by + c = 0,

В канонической форме: ax + by = -c,

В форме линейной функции: y = kx + m , где .

Решением либо корнями этого уравнения является такая пара значений переменных (x;y) , которая превращает его в тождество . Этих решений (корней) у линейного уравнения с 2-мя переменными неограниченное количество. Геометрической моделью (графиком) данного уравнения есть прямая y=kx+m .

Если в уравнении есть икс в квадрате, то такое уравнение называется